Question

如图，在倾角为37°的足够长的光滑斜面上，放一质量为mA=0.2kg的薄板A，A板上、下段由不同材料构成，下段

如图，在倾角为37°的足够长的光滑斜面上，放一质量为mA=0.2kg的薄板A，A板上、下段由不同材料构成，下段表面光滑，长度l=3m，上段表面粗糙；质量为mB=2.0kg的金属块B（视为质点）位于A的最下端，B与A上段间的动摩擦因数μ=0.1；质量为mC=1.2kg的物块C通过轻线绕过定滑轮与B相连．忽略滑轮质量及轴间的摩擦，A，B间最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．开始时，整个系统在外力作用下，处子静止状态，轻线被拉直．cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s2．求：（1）撤去外力的瞬间，A，B，C的加速度分别是多大？（2）撤去外力后的整个过程中，因摩擦产生的热量Q=？（绳足够长，B始终没滑出A板）

Answer 1

（1）由于m_Bgsin37°=m_cg=12 N  所以，撤去外力的瞬间a_B=a_c=0   
对薄板A，有m_Agsin37°=m_Aa_A
得 a_A=6 m/s²          
（2）由于斜面和A板下段表面都光滑，撤去外力后，A板从静止开始向下做匀加速运动，只要金属块B在A板下段表面上，B、C就保持静止不动．A板运动到金属块B在其上段表面上后，B和C受滑动摩擦力作用将一起以相同大小的加速度做加速运动．设A板上段刚滑到B下方时速度为v_A，则

V

2 A

＝2aAl
解得v_A=6 m/s
B在A板上端表面时，设A板加速度为a_A1，B和C加速度为a_B1，轻线拉力为F，则
m_Agsin37°-μm_Bgcos37°=m_Aa_A
m_Bgsin37°+μm_Bgcos37°-F=m_Ba_B1
F-m_Cg=m_Ca_B1
解得a_A1=-2 m/s²，a_B1=0.5 m/s²
A、B、C最终达到速度相等．假设速度相等之后，A、B间的静摩擦力f小于最大静摩擦力f_m，即A、B相对静止，A、B、C三者加速度大小相同，设为a₀，则
（m_A+m_B）gsin37°-m_Cg=（m_A+m_B+m_C）a₀
m_Agsin37°-f=m_Aa₀
a₀=0.5 m/s²，f=1.1N
f_m=μm_Bgcos37°=1.6N
即f＜f_m，假设成立，之后A、B相对静止．
设A、B、C达到相等速度v₁所需时间为t，则
v₁=v_A+a_A1t=a_B1t      
解得t=2.4 s，v₁=1.2 m/s
设在时间t内，A通过的距离是x_A，B和C通过的距离是x_B，则
x_A=

1

2

（v_A+v₁）t   
x_B=

1

2

v₁t         
解得x_A=8.64m，x_B=1.44 m
Q=μm_Bg（x_A-x_B）   
Q=14.4J
答：（1）撤去外力的瞬间，A，B，C的加速度分别是6 m/s²、0、0．
（2）撤去外力后的整个过程中，因摩擦产生的热量Q=14.4J