Question

已知函数f（x）=x3-ax2-3x，g（x）=-6x（a∈R）．（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的

已知函数f（x）=x3-ax2-3x，g（x）=-6x（a∈R）．（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；（2）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）时是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
由题意得f′（3）=0，则a=4，
当x∈（1，3），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（3，4），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（3）=-18；
f（x）_max=f（1）=-6．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax²+3x，
由题意得，h′（x）=3x²-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤

3

2

(x+

1

x

)在（0，+∞）恒成立，
而(x+

1

x

)min＝2
∴a≤3．