Question

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥面PDC．

Answer 1

解答：证明：（1）连接AC，取其中点为Q．
在三角形PAC中，QN∥PA，
在三角形ABC中，MQ∥BC∥AD，
∴面QMN∥面PAD，又MN?平面QMN，
∴MN∥面PAD．
（2）∵AB⊥PA，∴AB垂直于QN，
∵QM∥BC，∴AB⊥QM，
∴AB⊥面QMN，
∴AB⊥MN，MN⊥CD．
（3）取PD中点R，∵CD⊥面PAD，∴AR⊥CD
等腰直角三角形PAD中，AR⊥PD，
∴AR⊥面PCD，
又∵NR

∥

.

1

2

DC

∥

.

1

2

AB=AM，
∴四边形RAMN是平行四边形，∴AR∥MN，
∴MN⊥面PCD．