
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.(Ⅰ
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)设直线l为抛物线C的切线且...
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)设直线l为抛物线C的切线且l∥MN,求直线l的方程.
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(1)由题可知F(
,0),则该直线MN的方程为:y=x-
,
代入y2=2px,化简可得x2-3px+
=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1=x2=3p.
∵|MN|=8,∴有x1+x2+p=8,解得p=2,
∴抛物线的方程为:y2=4x.
(2)设l方程为y=x+b,代入y2=4x,可得x2+(2b-4)x+b2=0,
因为l为抛物线C的切线,∴△=0,解得b=1,
∴l的方程为:y=x+1.
p |
2 |
p |
2 |
代入y2=2px,化简可得x2-3px+
p2 |
4 |
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1=x2=3p.
∵|MN|=8,∴有x1+x2+p=8,解得p=2,
∴抛物线的方程为:y2=4x.
(2)设l方程为y=x+b,代入y2=4x,可得x2+(2b-4)x+b2=0,
因为l为抛物线C的切线,∴△=0,解得b=1,
∴l的方程为:y=x+1.
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