Question

如图，在长方体ABCD=A1B1C1D1 中，AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三

如图，在长方体ABCD=A1B1C1D1 中，AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

解答：证明：（1）∵BC⊥侧面CDD₁C₁，
DE?侧面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC---（2分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=

2

a，
则有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC，----（4分）
又∵BC∩EC=C，BC，EC?平面BEC
∴DE⊥平面BEC．----（6分）
解：（2）BC⊥侧面CDD₁C₁，
CE?侧面CDD₁C₁，
∴CE⊥BC---（8分）
则S△_BCE=

1

2

?BC?CE=

1

2

?a?

2

a=

2

2

a2----（9分）
又∵DE⊥平面BEC
DE就是三棱锥E-BCD的高----（10分）
则三棱锥E-BCD的体积V=

1

3

?DE?S△_BCE=

1

3

?

2

a?

2

2

a2=

a3

3

---（12分）