Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=12AB，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=12AB，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°．（1）求证：DE⊥PC；（2）求直线PD与平面BCDE所成角的大小；（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

解答：证明：（1）连接AC交DE于F，连接PF，
∵CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD，
又∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD，
∴∠BAC=∠DAC，即CA平分∠BAD，
∵△ADE是正三角形，
∴AC⊥DE，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC
（2）解：过P作PO⊥AC于O，连接OD，设AD=DC=CB=a，则AB=2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角．
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO=60°，在Rt△POD中，sin∠PDO=

PO

PD

=

3

4

，∴直线PD与平面BCDE所成角是arcsin

3

4

（3）解：∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF=CF=

3

2

a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG=

1

2

PF=

3

4

a