Question

如图，已知四边形abcd中，ac平分角dab,_角dab＝60度，角b与角d互补，ac＝√3,求a

如图，已知四边形abcd中，ac平分角dab,_角dab＝60度，角b与角d互补，ac＝√3,求ab＋ad的值

Answer 1

方法一：
延长AB至E，使BE=DA，连接CE。
因为∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE互补，所以∠CBE=∠D。
又BE=DA，BE=BE，所以三角形CBE与三角形CDA全等。
所以∠CEB=∠CAD。
又因为AC平分∠DAB,∠DAB=60度，所以∠CAD=∠CAB=30度。
所以∠CEB=∠CAD=30度。
所以三角形CAE是等腰三角形，且底角是30 度。
所以底边AE=AB+BE=根号3AC，
所以 AB+AD=根号3AC

方法二：
假设AB<AD
过C作CE垂直于AB延长线，过C作CF垂直于AD
AC是∠FAE平分线，根据角平分线的性质，CF=CE
因为∠ABC+∠ADC=180°
∠ABC=∠BCE+∠E（三角形外角等于两内角之和）
所以
∠BCE+∠E+∠ADC=180°
因为
∠ADC+∠DCF+∠DFC=180°
∠DFC=∠E=90°
所以
∠DCF=∠BCE
综上，∠DFC=∠E，∠DCF=∠BCE，CF=CE
△CDF≌△CBE
所以
DF=BE
所以
AB+AD=AF+AE
∠CAB=∠CAD=1/2∠DAB=30°
所以
AF=AE=AC*cos30°=√3/2 AC
AB+AD=AF+AE=√3 AC

Answer 2

（1）证明：在题图（2）中，
∵∠B=∠D，且∠B与∠D互补，
∴∠B=∠D=90°．
又∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴AB=AC×cos∠CAB= √3/2AC，
AD=AC×cos∠CAD=√3/2 AC，
∴AB+AD= √3AC=3

追问

cos是什么

追答

你没学过cos,sin,tan三角函数么——

追问

没

老师让我们用辅助线

追答

好吧，看辅助线，
在AB上截取AE=AD、连接CE，做CF⊥AB，垂足为F
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠EAC
在△DAC和△EAC中
AE=AD
∠DAC=∠EAC
AC=AC
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴∠D=∠AEC、AE=AD
又∵∠CEB+∠AEC=180°
∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CEB
∴△CEB为等腰三角形
又∵CF⊥EB
∴EF=EB【等腰三角形三线合一性质】
在Rt△CAF中
∠CAF=30°【平分线性质】
∴AF=(√3/2 )AC
即：2AF=√3AC
AF+AF=√3AC
（AE+EF）+（AB-BF）=√3AC
AE+AB=√3AC【这里AE=AD】
∴AB+AD=√3AC=3