Question

哪位高手帮我解决这道奥数题?

1和0.999… 哪个大?奥数老师说:1÷3=0.333… 0.999…÷3=0.333…
0.333… = 0.333… 谁能帮我解释一下啊!!

Answer 1

这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但请相信我和那些说它们相等的同志，他们的的确确是相等的。
证明的方法有很多：

第一种，最简单的：
设x=0.9999999999999……，那么10x=9.99999999999……，得到
10x-x=9
得x=1

第二种，也很简单的：
设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得
x/3=1/3
x=1

第三种，稍微要绕一点脑筋：
你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种，可以用极限来做：
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。

另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.3333333333……只是约等于1/3，0.9999999999……<1。至少在我们所使用的数学中，0.999999999……=1。

你也可以在百度上查找有关的资料，特别是百度知道上有过这种争论。

最后，我再明确地告诉你，同时也是告诉所有看过这些话的人，0.999999999999999……=1。

Answer 2

不太恰当的比喻哦，1总有余数，0.999……被整除
实际上应该是1÷3>0.333…
至于所谓严谨的推理么，
第一种中x与10x永远相差1位小数,所以恰恰是
10x-x<9 x<1
第二种如上
第三种，竖式计算1除以1是必须要有1<1这个前提才可以进行的。
有些极限本来就是无法等同只能接近的，极限值并不能完全代表其本身
0.9=1-0.1
0.09=0.1-0.01
……
0.9999999999……=1-(0.1)^n
一样从极限看是1-(0.1)^n=1成立
但是结论是0.1=0,你觉得这个是对的？

Answer 3

一样大

Answer 4

一样大

Answer 5

0.9999....=(0.9999....*10-0.9999....)/9
=(9.9999...-0.9999....)/9=9/9=1
所以一样大.

Answer 6

一样大