Question

如图，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2 交椭

如图，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2 交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1 AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若 ＝2 ， · ＝ ，求椭圆的方程．





Answer 1

（1） （2） ＝1

(1)若∠F 1 AB＝90°，则△AOF 2 为等腰直角三角形，所以有OA＝OF 2 ，即b＝c.所以a＝ c，e＝ ＝ . (2)由题知A(0，b)，F 1 (－c，0)，F 2 (c，0)， 其中，c＝ ，设B(x，y)． 由 ＝2 ，得(c，－b)＝2(x－c，y)， 解得x＝ ，y＝－ ，即B . 将B点坐标代入 ＝1，得 ＝1，即 ＝1，解得a 2 ＝3c 2 .① 又由 · ＝(－c，－b)· ，得b 2 －c 2 ＝1，即有a 2 －2c 2 ＝1.② 由①②解得c 2 ＝1，a 2 ＝3，从而有b 2 ＝2. 所以椭圆方程为 ＝1.