Question

已知函数f（x）=x 4 -4x 3 +ax 2 -1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2）上单调递减。（1）求a的值；

已知函数f（x）=x 4 -4x 3 +ax 2 -1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2）上单调递减。（1）求a的值； （2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）由f（x）=x 4 -4x 3 +ax 2 -1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2）上单调递减， ∴x=1时f（x）有极大值， ∴f′（1）=0， 又∵f′（x）=4x 3 -12x 2 +2ax， ∴f′（1）=4-12+2a=0 a =4， 显然a=4时f′（x）=4x（x 2 -3x+2）=4x（x-1）（x-2）， 在[0，1]上，f′（x）>0； 在[1，2）上f′（x）＜0，x=1是极大值点，符合题设， ∴a=4； （2）令f′（x）=4x 3 -12x 2 +8x=0，得x=0，1，2， 此时f（0）=-1，f（1）=0，f（2）=-1，f（-2）=63， ∴f（x） max =63 ，f（x） min =-1。