如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结
如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点...
如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若ED＝BE，求∠F的度数；（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．
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（1）连接OE．
∵
=
，
∴∠BOE=∠EOD
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）作OH⊥BE，垂足为H．
在△HBO和△COD中，
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴y=
（0＜x＜4）；
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PBE为等腰三角形，
设CO=x，
∴OP=OC=x，
则PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当EB=EP，2x=4-x，
解得：x=
，
③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，
∴EM=
PE=
，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴
＝
，
∴
＝
，
整理得：x2+x-4=0，
解得：x=
∵
 |
| ED |
 |
| BE |
∴∠BOE=∠EOD
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）作OH⊥BE，垂足为H．在△HBO和△COD中，
|
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
| OD |
| BF |
| OC |
| BC |
∴
| 4 |
| 2x+y |
| x |
| 4+x |
∴y=
| 4x+16?2x2 |
| x |
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PBE为等腰三角形，
设CO=x，
∴OP=OC=x，
则PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当EB=EP，2x=4-x，
解得：x=
| 4 |
| 3 |
③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，
∴EM=
| 1 |
| 2 |
| 4?x |
| 2 |
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴
| BE |
| DO |
| EM |
| OC |
∴
| 2x |
| 4 |
| ||
| x |
整理得：x2+x-4=0，
解得：x=
?1±
| ||
2
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