Question

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2与a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2与a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn=na1+（n-1）a2+…+2an-1+an，求Tn．

Answer 1

（1）∵单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
设首项为a₁，公比为q，
∴

a1q+a1q3＝20 a3＝a1q2＝8

，
解得a₁=2，q=2，或a1＝32，q＝

1

2

，
又{a_n}单调递增，∴q=2，a₁=2，
∴an＝2n．
（2）T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=n?2+（n-1）?2²+（n-2）?2³+…+2?2^n-1+2ⁿ，①
2T_n=n?2²+（n-1）?2³+…+2?2ⁿ+2ⁿ⁺¹，②
②-①得：Tn＝?2n+22+23+…+2n+2n+1
=-2n+

22(1?2n)

1?2

=2ⁿ⁺²-2n-4．