已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0)(A在B的左侧),与y轴的正半轴
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0)(A在B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.如果x1+x2=1,x1?x2=-6,...
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0)(A在B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.如果x1+x2=1,x1?x2=-6,且△ABC的面积为152.(1)求此抛物线的解析式.(2)如果P是线段AC上一个动点(不与A、C重合),过点P作直线y=m(m为常数),与直线BC交于点Q,则在x轴上是否存在点R,使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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根据题意画出图形如下所示:
(1)A(-2,O),B(3,0),
S△ABC=
,
∴c=3,C(0,3).
∴抛物线的解析式是y=-
x2+
x+3.
(2)假设存在满足条件的点R,并设直线y=m与y轴的交点为E(0,m),
由(1),知AB=5,OC=3.
点P不与点A、C重合,
∴点E(0,m)不与点O、C重合.
∴0<m<3.
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰,
过点P作PR1⊥x轴于点R1,则∠R1PQ=90°,PQ=PR1=m.
即(3-m)-
=m,
解得m=
.
∴P(xP,
),Q(xQ,
),
点P在直线AC上,
解得xP=-
,P(-
,
).
∴点R1(-
,0).
过点Q作QR2⊥x轴于R2,
同理可求得xQ=
,Q(
,
).
∴点R2(
,0).验证成立,
∴R1(-
,0)、R2(
,0)是满足条件的点.
(1)A(-2,O),B(3,0),
S△ABC=
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2 |
∴c=3,C(0,3).
∴抛物线的解析式是y=-
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(2)假设存在满足条件的点R,并设直线y=m与y轴的交点为E(0,m),
由(1),知AB=5,OC=3.
点P不与点A、C重合,
∴点E(0,m)不与点O、C重合.
∴0<m<3.
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰,
过点P作PR1⊥x轴于点R1,则∠R1PQ=90°,PQ=PR1=m.
即(3-m)-
2m?6 |
3 |
解得m=
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∴P(xP,
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8 |
点P在直线AC上,
解得xP=-
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∴点R1(-
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过点Q作QR2⊥x轴于R2,
同理可求得xQ=
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∴点R2(
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∴R1(-
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