Question

如图，正方形ABCD中，AB=10，点E、F分别是正方形ABCD的边AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点

如图，正方形ABCD中，AB=10，点E、F分别是正方形ABCD的边AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H，则下列结论中正确的是（　　）A．△GDC为等边三角形B．∠ADE=∠FCGC．sin∠DCG=45D．CG=FG+EG

Answer 1

如图，正方形ABCD中，AB=BC=AD=10，
∵点E、F分别是边AB和BC的中点，
∴AE=BF=5，
在△ABF和△DAE中，

AB＝AD ∠DAE＝∠B＝90° AE＝BF

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AF=DE，∠BAF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BAF=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点M，连接CM交DE于N，
同理可得CM⊥DE，
∵M是AD的中点，F是BC的中点，
∴AF∥CM，
∴CM垂直平分DG，
∴CG=CD，
又DG＜AD，
∴CD=CG≠DG，
∴△GDC为等边三角形错误，故A选项结论错误；

由勾股定理得，AF=DE=

102+52

=5

5

，
∴S_△ADE=

1

2

×5

5

AG=

1

2

×10×5，
解得AG=2

5

，
∴FG=5

5

-2

5

=3

5

，
∴FG≠FC，
∴∠FGC≠∠FCG，
∵∠FGC=∠GCN=∠DCN=∠ADE，
∴∠ADE≠∠FCG，故B选项结论错误；

∵AH=AGcos∠DAG=AGcos∠AED=2

5

×

5

5 5

=2，
∴HD=AD-AH=10-2=8，
过点G作DK⊥CD于K，可得GK=HD，
∴sin∠DCG=

GK

CG

=

8

10

=

4

5

，故C选项结论正确；

∵FG=3

5

，
EG=AG?tan∠BAF=2

5

×

5

10

=

5

，
∴FG+EG=3

5

+

5

=4

5

，
∵CG=10，
∴CG≠FG+EG，故D选项结论错误．
故选C．