Question

已知抛物线y2=2x，定点A的坐标为（23，0）．（1）求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2

已知抛物线y2=2x，定点A的坐标为（23，0）．（1）求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2）设B（a，0），求抛物线上的点到点B的距离的最小值d．

Answer 1

（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，
|PA|²=(x?

2

3

)²+y²=(x?

2

3

)²+2x=(x+

1

3

)²+

1

3

，
∵x∈[0，+∞），∴x=0时，|PA|_min=

2

3

，
此时P（0，0）．
（2）|PB|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）．
①当a-1≥0，即a≥1时，
在x=a-1时，|PB|_min²=2a-1；
②当a-1＜0，即a＜1时，在x=0时，
|PB|_min²=a²，故d=

2a?1 ，a≥1 |a|，a＜1

．