Question

不等式2x2-axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．a≤22B．a≥22

不等式2x2-axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．a≤22B．a≥22C．a≥113D．a≥92

Answer 1

不等式2x²-axy+y²≤0等价为a≥

2x2+y2

xy

＝

2x

y

+

y

x

，设t=

y

x

，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴

1

2

≤

1

x

≤1，即

1

2

≤

y

x

≤3，
∴

1

2

≤t≤3，
则

2x

y

+

y

x

＝t+

2

t

，
∵t+

2

t

≥2

t? 2 t

＝2

2

，
当且仅当t=

2

t

，即t=

2

时取等号．但此时基本不等式不成立．
又y=t+

2

t

在[

1

2

，

2

]上单调递减，在[

2

，3]上单调递增，
∵当t=

1

2

时，t+

2

t

＝

1

2

+4＝

9

2

，
当t=3时，t+

2

t

＝3+

2

3

＝

11

3

＜

9

2

．
∴

2x

y

+

y

x

的最大值为

9

2

．
∴a≥

9

2

．
故选：D．