Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD、PC的中点．（

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB，EF⊥平面PBC；（2）若直线PC与平面ABCD所成角为π4，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求BO、PB长及二面角P-BC-E的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取BP的中点M，FM∥BC，且FM∥PE，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴AM∥EF，又EF在平面PAB外，EF∥平面PAB，
由PA=AB，得AM⊥PB，EF⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM，∴BC⊥EF，
∴EF⊥平面PBC．
（2）解：作PO⊥AB=O，则PO⊥平面ABCD，
连结OC，则∠PCO=

π

4

，
∴PO=OC，设AO=x，则

9?x2

＝

4+(3?x)2

，
得到x=2，
则BC中点G，连EG、FG，则由（1）知BC⊥平面EFG，
∠FGE即为所求二面角的平面角，
在△PAB中，PB=

6

，PA=AB=3，
∴cos∠FGE＝

6

6

．