Question

（2014?鹤城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=2，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角

（2014?鹤城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=2，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°．（Ⅰ）求棱柱的高；（Ⅱ）求B1C1与平面A1BC1所成的角的大小．

Answer 1

解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=

2

，∠BAC=90°，
∴Rt△A₁AB≌Rt△A₁AC，∴A₁B=A₁C，…2 分
又∵异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，
∴A₁BC=60°，∴△A₁BC为正三角形，
∵AC=AB=

2

，∠BAC=90°，
∴A₁B=BC=

2+2

=2，…4 分
∴BB₁=

4?2

=

2

，即棱柱的高BB₁=

2

．
（2）连结AB₁，A₁B∩AB₁=O，
∵B₁O⊥A₁B，B₁O⊥AC，
∴B₁O⊥面A₁BC₁，∴∠B₁C₁O是B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角平面角，
在Rt△B₁C₁O中，B₁O=1，B₁C₁=2，
∴sin∠B₁C₁O=

B1O

B1 C1

=

1

2

，
∴∠B1C1O＝

π

6

，
∴B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角为

π

6

．