若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)?f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)?f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0;(2)求证:f(x)为减函数;(3)当f(4...
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)?f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0;(2)求证:f(x)为减函数;(3)当f(4)=116时,解不等式f(x?3)?f(5?x2)≤14.
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(1)设x>0,则-x<0,在原式中令b=0得f(a)=f(a)?f(0),故f(0)=1,
再令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)?f(-x),所以f(x)=
,因为-x<0,所以f(-x)>1,
所以0<f(x)<1,综上f(x)>0
(2)任取两个实数x1和x2,且x1<x2,则x2=x1+m,且m>0,所以0<f(m)<1
f(x2)-f(x1)=f(x1+m)-f(x1)=f(x1)?f(m)-f(x1)=f(x1)(f(m)-1)<0,
所以f(x2)<f(x1),所以f(x)为减函数
(3)由f(4)=
得f(2)=
,f(x?3)?f(5?x2)≤
,即f(x-3+5-x2)≤f(2)
由(2)可知x-3+5-x2≥2,即x-x2≥0,所以x∈[0,1].
再令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)?f(-x),所以f(x)=
1 |
f(?x) |
所以0<f(x)<1,综上f(x)>0
(2)任取两个实数x1和x2,且x1<x2,则x2=x1+m,且m>0,所以0<f(m)<1
f(x2)-f(x1)=f(x1+m)-f(x1)=f(x1)?f(m)-f(x1)=f(x1)(f(m)-1)<0,
所以f(x2)<f(x1),所以f(x)为减函数
(3)由f(4)=
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由(2)可知x-3+5-x2≥2,即x-x2≥0,所以x∈[0,1].
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