Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|x?2ax?(a2+1)＜0}．（1）当a=2时，求A∩B；（2）当a＞1

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|x?2ax?(a2+1)＜0}．（1）当a=2时，求A∩B；（2）当a＞13时，若元素x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，可得集合A={x|（x-2）（x-7）＜0}={x|2＜x＜7}，
集合 B={x|

x?4

x?5

＜0}={x|4＜x＜5}，
∴A∩B={x|4＜x＜5}
（2）∵a²+1-2a=（a-1）²≥0，∴a²+1≥2a
∴B={x|2a＜x＜a²+1}
当a＞

1

3

时，3a+1＞2∴A={x|2＜x＜3a+1}
∵元素x∈A是x∈B的必要条件，即B是A的真子集
∴2a≥2 且 a²+1≤3a+1
∴1≤a≤3，经验证当a=1，3时，均符合要求．
故实数a的取值范围为：1≤a≤3．