Question

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为1/2,点P(2,3),A,B在该椭圆上,线段

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为1/2,点P(2,3),A,B在该椭圆上,线段AB的中点T在直线OP上,且A,O,B三点不共线.（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率；（2）求三角形PAB面积的最大值

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，则e=c/a=1/2，4/a²+9/b²=1，c²=a²-b²，∴a=4，b=2√3，c=2。∴椭圆方程为x²/16+y²/12=1。
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB直线方程为y=kx+d，代入椭圆方程3x²+4y²-48=0得:(3+4k²)x²+8kdx+(4d²-48)=0，则△=48(16k²-d²+12)>0，x1+x2=-8kd/(3+4k²)，x1x2=(4d²-48)/(3+4k²)。OP的直线方程为=3/2x，AB的中点为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）在OP上，∴-4k²d/(3+4k²)+d=-6kd/(3+4k²)。又d≠0，∴3/2=y/x=(y1+y2)/(x1+x2)=k+2d/(x1+x2)，k=-1/2，即AB直线的斜率为-1/2。
（2）由AB的直线方程有，y1-y2=k(x1-x2)、由△得d<4。利用已知三角形各顶点坐标、行列式表示的面积公式，化简有S△=(x1-x2)(4-d)/2的绝对值。S△=√[3(16-d²)](4-d)/2，解得d=-2，面积最大S△=18。供参考啊。

追问

S△=√[3(16-d²)](4-d)/2，怎么解得d=-2？

追答

推荐两种解法：①初等解法：S△=√[3(16-d²)](4-d)/2 →(S△)^2=3(16-d²)(4-d)^2/4=3(4+d)(4-d)^3/4=(1/4)(12+3d)(4-d)(4-d)(4-d)。利用“当n个正数，其和为定值时，当且仅当这n个数相等时的积最大”的定理，本题中d<4,均为正数，而12+3d+3（4-d)=24为定值，∴12+3d=4-d,d=-2时，积最大。
②高等解法：对S△两边对d求导，得S'△=S△[-2(2+d)/(16-d^2)]。令S'△=0，得d=-2。易判断d=-2是极大值点。故，得出结论。供参考啊。

追问

哦，知道了，谢谢啊

能再问一个问题吗