Question

1）如左图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，

1）如左图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠AEB的度数。 （2）如右图，在△ABC中,∠CAB＝90°,AB＝AC,E、F为BC上的两点，且∠EAF＝45° ，MN^2与NC^2＋BM^2有何关系？说明理由。

Answer 1

1. 连接FC

   因为正三角形ABC,AEF，所以AB=AC,AE=AF，角BAC=角EAF=60度，所以角BAC-角EAC=角EAF-角EAC，即角BAE=角CAF所以FC=BE=3,又因为EF=AE=4,EC=5，所以三角形EFC为RT三角形，所以角AFC=角AEB=60+90度=150度

2. M,N应该是E,F吧。把△ACF绕A点旋转90°使AC和AB重合;设F旋转之后的点是G，连接EG
   那么有:△ABG≌△ACF
   AG=AF,∠GAB=∠CAF
   所以:∠EAG=∠EAB+∠GAB=∠EAB+∠CAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF
   在△EAF和△EAG中
   AG=AF
   ∠EAF=∠EAG
   AE=AE
   所以:△EAF≌△EAG
   所以EG=EF
   而∠EBG=∠ABC+∠ABG=∠ABC+∠ACB=90°
   所以△EBG是直角三角形
   BE²+BG²=EG²
   即BE²+CF²=EF²
   

Answer 2

画等边三角形AEF其实纯粹是为降低难度的提示，连FC，则三角形AEB全等于三角形AFC。在三角形，EFC中，EF=3，FC=4，EC=5，所以是直角三角形，则角EFC=90度，角AEB=角AFC=90度+60度=150度。
第二题，作CD垂直于BC，使CD=BM，连AM，易证三角形ACD全等于三角形ABM，则BM=CD，连DN，可证三角形AMN全等于三角形，AND（边角边），则DN=CN，即这三条线段组成了一直角三角形。可得MN平方等于后两者平方和。