Question

设实数x,y满足(x-2)^2+y^2=3,那么y/x的最大值是

Answer 1

方法一:几何法(x-2)^2+y^2=3表示圆心为(2,0),半径为根号3的圆,
y/x表示圆上一点M(x,y)的斜率,连接OM看出,OM与圆相切时有最大和最小值,最大值为根号3

方法二:参数法,由圆方程(x-2)^2+y^2=3,可以设圆上任一点P为
(2+√3cost,√3sint),则y/x=k=√3sint/(2+√3cost),整理得
2│k│<=√3（sint-kcost)<=[3(1+k^)]^(1/2)
平方整理得k^<=3，所以(y/x)max=根号3

方法三：判别式法
设y/x=k，则y=kx
代入方程，得
(x-2)²+(kx)²=3
整理得(k²+1)x²-4x+1=0
∵x为实数，即该方程有实根
∴Δ=(-4)²-4(k²+1)=12-4k²≥0
-√3≤k≤√3
∴k的最大值为根号3，也就是y/x的最大值是根号3

Answer 2

解：设y/x=k，则y=kx
代入方程，得
(x-2)²+(kx)²=3
整理得(k²+1)x²-4x+1=0
∵x为实数，即该方程有实根
∴Δ=(-4)²-4(k²+1)=12-4k²≥0
即k²≤3，∴≥
-√3≤k≤√3
∴k的最大值为根号3，也就是y/x的最大值是根号3

Answer 3

3
y/x的存在所以x不=0
两边除以x^2
成了3-（1/x-2)^2的极值问题
只有1/x-2=0