Question

已知函数f(x)=|mx|–|x–n|(0<n<1+m),若关于x的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围？

Answer 1

f(x)=|mx|–|x–n|<0 即
|mx|<|x–n|
则 m²x²<(x-n)²
即 x²(m²-1)+2nx+n²<0 ①
其解集中整数恰有3个

我们来讨论一下
假设m²-1=0，则①式等价于 2nx+n²<0 即 x<-n/2 解集中整数显然不止3个
所以m²-1≠0，即①式左边为二次函数抛物线
再假设m²-1<0，则①式左边的抛物线开口向下，显然解集中整数也不止3个
所以只能是m²-1>0，即①式左边的抛物线开口向上。
此时 m>1或者m<-1，但由于0<n<1+m，所以 m>-1
从而 只能是 m>1

又由于解集中整数恰有3个
所以抛物线与x轴相交(Δ>0)的两个交点x₁、x₂之间的间距（解集中整数落在这个交点之间），
必然介于[2,3)的区间范围

即|x₁-x₂| = √((x₁+x₂)²-4x₁x₂) = √Δ/a (跟与系数关系得到)
= √(4n²-4(m²-1)n²)/(m²-1)
= 2n√(2-m²)/(m²-1)
∈ [2,3)

即 2≤2n√(2-m²)/(m²-1) <3
再结合0<n<1+m 和 m>-1 和Δ>0
解得 1/n≤√(2-m²)/(m²-1) <3/2n 且 1<m²<2
即
1/(1+m)<1/n≤√(2-m²)/(m²-1) <3/2n 且 1<m<√2 ②
则 m-1 <√(2-m²)
(m-1)²<2-m²
即 2m²-2m-1<0
解得 (1-√3)/2<m<(1+√3)/2
再结合②式，因为 (1+√3)/2 <√2 （可以使用两边平方去根号来证明）
得到 1<m<(1+√3)/2

即m取值范围为 (1,(1+√3)/2)