Question

证明如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,则(f(x),g(x)h(x))=1

Answer 1

证明： (f(x),g(x))=1，则存在a(x)，b(x)使得af + bg = 1； 假设t(x)=(g(x),h(x))，则存在c(x)，d(x)使得cg + dh = t 则t = cg + dh * 1 = cg + dh * (af + bg ) = cg + adfh + bdhg = (ad)fh + (c+ bdh)g 从而存在u(x) = a(x)d(x)，v(x) = c(x) + b(x)d(x)h(x)， 使得ufh + vg = t，而t|h，所以t|fh，t|g， 故t是fh和g的最大公因式。 从而(f(x)h(x),g(x))=(g(x),h(x)) 得证。

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