Question

怎么求下列微分方程满足所给初始条件的特解

dy/dx=y/x+tan(y/x)，y(1)=π/6
谢谢

Answer 1

求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

 

 

(1)dy/dx=2^(2x)/2^y
2^ydy=2^(2x)dx
两边积分：2^y/ln2=2^(2x)/ln2*1/2+C
2^y=2^(2x-1)+C
令x=0：1=1/2+C,C=1/2
所以2^y=2^(2x-1)+1/2
2^(y+1)=2^(2x)+1
(2)y'-ytanx=secx
因为(ye^f(x))'=e^f(x)*(y'+f'(x)y)
所以考虑e^[-∫tanxdx]=cosx
所以y'cosx-ysinx=1
(ycosx)'=1
两边积分：ycosx=x+C
令x=0：0=C
所以ycosx=x
y=x/cosx                          

 

Answer 2

令u=y/x
则y'=u+xu'
代入方程得：u+xu'=u+tanu
du/tanu=dx/x
d(sinu)/sinu=dx/x
ln|sinu|=ln|x|+C1
sinu=Cx
sin(y/x)=Cx
代入y(1)=π/6得： sin(π/6)=C=1/2
故特解为sin(y/x)=x/2