Question

如何计算此函数的积分值

请问大神如何计算上面的积分？需要具体步骤，谢谢
是这个，刚才少了一个dx

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Answer 1

两种方法供你选择，

第一种，通过二重积分的变换来求

考虑广义二重积分

I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy

D

其中D = [0,+∞)×[0,+∞)，

今按两种不同的次序进行积分得

I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy  

 0 +∞    0 +∞

= ∫sinx·(1/x)dx

 0 +∞

另一方面,交换积分顺序有：

I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy

D

=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx  

0 +∞    0 +∞

=∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0

0 +∞

= π/2

所以：

∫sinx·(1/x)dx=π/2

0 +∞

所以，原积分=π

第二种方法，用留数定理