Question

问: 曲线积分计算星形线面积 用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t,

问: 曲线积分计算星形线面积
用曲线积分计算星形线x=cos^3t,y=sin^3t,

Answer 1

计算过程如下：

扩展资料：

星形线的性质

1、直角坐标方程：x^2/3+y^2/3=a^2/3

2、参数方程：x=a*(cost)^3,y=a*(sint)^3 （t为参数）

3、所包围的面积为3πa^2/8。

4、与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体表面积为12πa^2/5。

5、旋转体的体积为32πa^3/105。

计算上述积分用到格林公式，格林公式为：

在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。

如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立。

Answer 2

利用格林公式的推广

将面积化为曲线积分

将参数方程代入

 

解得，面积＝3π/8

 

过程如下图：

 

Answer 3

利用格林公式的推广

将面积化为曲线积分

将参数方程代入

 解得，面积＝3π/8

 过程如下图：