Question

关于正方形的数学题

如图,在正方形ABCD中, E,F分别是 BC ,CD 边上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N.
求证：MN的平方 = BM的平方+DN的平方

Answer 1

延长CD到G使DG=BE,连结AG,在AG上取AH=AM，连结HD，ND

EF=BE+DF=DG+DF=FG
三角形ABE与三角形ADG全等（AB=AD，角ABE=角ADG，BE=DG）
得AE=AG，角BAE=角DAG
三角形AEF与三角形AGF全等（AF=AF，AE=AG，EF=GF）
得 角EAF=角GAF=角FAD+DAG 即角EAF=90/2=45度
三角形AMB与三角形AHD全等（AB=AD，角BAM=角DAH，AM=AH）
得HD=MB
三角形MAN与三角形HAN全等 得MN=HN
角NDH=45+45=90度

所以三角形NDH为直角三角形
有ND^2+HD^2=NH^2 NH=MN HD=BM
即BM^2+DN^2=MN^2

Answer 2

自己画图来对照我的过程吧
延长DC到G使GD=BE
因为EF=BE+DF
所以EF=GF
又因为AF为公共边,AG=AE(AMD和ABE是全等三角形不用我证了吧)
所以AGF全等于AEF
所以角EAF=角GAF
再在三角形AGD里作M'D使M'D=BM
则因为全等,所以AM=AM',AN为公共边,角EAF=角GAF
所以三角形ANM全等于ANM'
所以NM'=NM
又因为BD是对角线
所以角ADM'=ABD=ADB=45度
所以角M'DN=45+45=90度
所以BM的平方+DN的平方=NM'的平方=MN的平方