Question

高中数学题，关于三角函数的问题

设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)= 1/2时的a值，并对此时的a值求y的最大值.
对a的范围讨论时怎么化成大于2小于2这三部分的，谁能详细说明，谢谢！

Answer 1

觉得题目本身有点问题，是不是f（x）最小值是1/2，求a和函数得最大值啊？

我是按照上诉解得
首先配方y＝2cosx2－2acosx－（2a＋1）＝2（cosx－a/2）2－(a/2)2－2a－1
讨论a的范围
当a∈[-2，2]时，f（x）min＝－(a/2)2－2a－1＝1/2 推出a＝－1或a＝3（舍去）
当a大于2时，f（x）min＝2－2a－2a－1＝1/2 推出a＝1/8（舍去）
当a小于2时，f（x）min＝2＋2a－2a－1＝1 不等于1/2 不可能
综述 a＝－1
当a＝－1时，f（x）＝2（cosx－1/2）2＋1/2
f（x）max＝2（－1－1/2）2＋1/2＝5
回答完毕 这是我对题目的理解
对a的范围讨论时化成大于2小于2这三部分的
是因为三角函数的值域是[－1，1],即cosx的值只能在[-1,1]上面取，即a/2∈[-1,1]则a∈[-2，2]，无论a取什么值，总存在一个x，使cosx＝a/2，所以可以使的2（cosx－a/2）2的值为0，因此该区间的最小值为－(a/2)2－2a－1。
而另外两个区间，只能当cosx取1或－1时有最小值。不能使得2（cosx－a/2）2的值为0，这个题目跟二次函数值域讨论的问题（对称轴是否在自变量的取值范围内的）差不多

Answer 2

先将a当成常数 求出二次函数的最小值 再将求得表达式看成一个新的函数 求其最值

Answer 3

a=-4,y最大值为17