Question

求三道高一数学题

一、求证：在锐角三角形ABC中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

二、已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6)用向量法，求AC与BD交点P的坐标。

三、已知A(5,-1)B(-1,7)C(1,2),求三角形ABC中，角A的平分线AD的长。

Answer 1

（1）A+B>π/2（因为为锐角三角形）这样第三个角才会小于π/2
A>π/2-B
所以sinA>cosB
同理sinB>cosC
sinC>cosA
相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

（2）设P点坐标为(x,y),P分向量BD为a，P分向量AC为b
则有:x=（4+b*12）/（1+b） （定比分点知识）
y=（5+b*1）/（1+b）
x=（1+a*11）/（1+a）
y=（2+a*6）/（1+a）
四个方程联立解得x=6，y=4
所以P点坐标为（6，4）

（3）向量AB=(-6，8) 向量AC=（-4.3）
所以｜AB｜=10,｜AC｜=5
根据角平分线定理（这个高中生应该知道吧）
有AB：AC=BD：CD
所以BD:CD=2
所以D点分向量BC为2
设D点坐标为(x，y)
则x=(-1+2*1)/(1+2)
y=(7+2*2)/(1+2)
得x=1/3 y=11/3
所以D（1/3，11/3）
由两点间距离公示求AD之间的距离
即是｜AD｜=√{（5-1/3）^2+[11/3-(-1)]^2}
=14√2/3
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