Question

求证：在空间里过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

首先这个是绝对正确的，数学书上的原话
然后就是麻烦大神给一个严谨一点的证明，不要凭空想象一类的。
谢谢！！！

Answer 1

设空间一条直线a和一点P，求证过点P可以做一个平与直线a垂直
首先证明存在性：
证：如果点P∈a，则过点P可以做两条直线m、n,使m⊥a，n⊥a。
再过相交直线m、n做一个平面α。则a⊥α，
∴过直线上一点P可以做一个平面和这条直线垂直
如果点P不在直线a上，则可过点P做一条直线a′∥a，
依上结论一定可以过点P做一个平面α⊥a′，∵a′∥a，∴α⊥a，
综上所述 过空间一个定点P可以做一个平面与已知直线垂直
然后证明唯一性：
证：（用反证法证），
如果点P∈a，设另有平面β经过点P，且β⊥a
那么过直线a和m（相交直线）可做一个平面γ，则γ∩β=m′
∵a⊥β且m′∈β，∴a⊥m′
这样在同一平面γ内，过点P有两条不同的直线m、m′垂直于直线a
这与“在同一平面中过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾
∴过点P只有一个平面α与已知直线a垂直
如果点P不在直线a上，则同理可证

Answer 2

当该点P在直线l上时,过P作两条与l都垂直的直线a,b(空间上),则a,b交於P,∴a,b能且只能确定一个平面π
∵l⊥a,l⊥b,∴l⊥π

当P在直线l外时,过P作PQ⊥l於Q,再过Q作任一直线m⊥l(不与PQ重合),则PQ∩m=Q,∴PQ和m能且只能确定一个平面π
∵l⊥PQ,l⊥m,∴l⊥π