Question

各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn=((an+1)/2)^2.对任意m∈N*,将数列{an}

各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn=((an+1)/2)^2.对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(2^m,2^2m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}和其前m项和Sm

Answer 1

首先对n=1代入得到a1=1
然后取n=n-1代入S式中，然后利用Sn-S(n-1)=an解得an-a(n-1)=2这很明显是等差数列
因此an=2n-1，也就是说an其实就是自然数的奇数列1,3,5,7.....
现在将奇数列落入区间(2^m,2^2m)内的项的个数记为bm,那么先处理简单的b1，我们可以看到b1就是落入(2,4)中间的奇数个数，3,正好1个；那么b2就是落入(4,16)中间的奇数个数，5,7,9,11,13,15，正好6个，我们注意观察个数的特点，不难看出:
1=(4-2)/2;6=(16-4)/2所以bm表达式正好是（2^2m-2^m）/2
所以Sm=b1+b2+b3......bm=.........
那么在处理bm通式时，我们注意到bm由两个项来组成，那么我们可以分别处理两个项
Sm=b1+b2+b3......bm=【(2^2+2^4+.....2^2n)-(2^1+2^2+....2^n)】/2
我们很容易能够看出前面是以4为Q的等比数列，后面是以2为Q的等比数列，接下来就可以直接应用公式，得到2/3·4^n-2^n+1/3