Question

(ax+a^2-1)^2+x^2/(x+a)^2+2a^2-1=0

已知关于X的方程(ax+a^2-1)^2+x^2/(x+a)^2+2a^2-1=0有实数根，求a的取值范围！

Answer 1

因为(ax+a^2-1)^2+x^2/(x+a)^2+2a^2-1=0，
且(ax+a^2-1)^2>=0,x^2/(x+a)^2>=0,
所以2a^2-1<=0，所以-根号2/2<=a<=根号2/2.
易知a不等于0(否则原式为1+1-1=0，不合),
原式可化为[a(a+x)-1]^2+[1-a/(a+x)]^2+2a^2-1=0,
所以[a(a+x)]^2+[a/(a+x)]^2-2[a(a+x)+a/(a+x)]+2a^2+1=0,
设t=a(a+x)+a/(a+x),
所以[a(a+x)]^2+[a/(a+x)]^2=t^2-2a^2,
所以原式为t^2-2t+1=0,
所以t=1.
即a(a+x)+a/(a+x)=1有解，
去分母可得，ax^2+(2a^2-1)x+a^3=0,
判别式=1-4a^2>=0,所以a^2<=1/4,
所以0<a^2<=1/4,
所以-1/2<a<0或0<a<1/2.
所以a的取值范围为-1/2<a<0或0<a<1/2.

Answer 2

(ax+a^2-1)^2+x^2/(x+a)^2+2a^2-1=0
(ax+a^2-1)^2+x^2/(x+a)^2+2a^2=1
平方的和=1.
则:
|ax+a^2+1|<=1
|x/(x+a)|<=1
2a^2<=1