Question

高一数学题

1.已知f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
①求证：f(8)=3
②解不等式：f(x)-f(x-2)＞3.

2.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f（1）=-2/3.
①求证：f(x)是R上的减函数
②求f(x)在[-3,3]上的最值.

3.已知函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)（a、b、c∈Z）是奇函数，且f(1)=2,f(2)＜3,求a、b、c的值.

Answer 1

1.(1)f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2*2)=f(2)+f(2)+f(2)=3
(2)f(x)-f(x-2)>3
f(x)>3+f(x-2)
f(x)>f(8)+f(x-2)=f(8x-16)
f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数,
所以x>8x-16>0,
所以16/7>x>2
(其实为函数f(x)=logx/log2)
2.(1)f(x)+f(x)=f(2x),f(x)+f(2x)=f(3x)...
所以nf(x)=f(nx) (n=1,2...)
nf(1/n)=f(1)<0 所以f(1/n)<0
即存在无穷小量dx(dx=1/n>0,n趋无穷大)，f(dx)<0
f(x+dx)-f(x)=f(dx)<0
又f(x)在R上连续，所以是减函数
（2）f(0)+f(0)=f(0)所以f(0)=0
f(x)+f(-x)=f(0)=0所以为奇函数
又是减函数
所以最小f(3)=3f(1)=-2
最大f(-3)=-f(3)=2
(其实是函数f(x)=-2/3*x)
3.(1)f(-1)=-f(1)得c=0
f(1)=2得a+1=2b
f(2)<3得(4a+1)/b<6
得a=1,b=1

Answer 2

1.解:(1)由f(xy)=f(x)+f(y)和f(2)=1
得f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2*2)
=f(2)+f(2)+f(2)=3
(2)f(x)-f(x-2)>3
f(x)>3+f(x-2)
f(x)>f(8)+f(x-2)=f(8x-16)
又f(x)在{x|x>0}递增
所以x>8x-16>0
...
.....

Answer 3

1.第二小问:由已知及第一小问f(x)-f(x-2)＞f(8)
所以f(x)＞f(x-2)+f(8)=f(8x-16),
f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数,
所以x>8x-16>0,
所以16/7>x>2

Answer 4

1.
第一小问:f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2
f(8)=f(4)+f(2)=2+1=3
第二小问:不会

Answer 5

第2问同除括号里同除Y，倒出F（X）-F（Y）的形式。