Question

如何证明一个矩阵的行秩等于它的列秩

Answer 1

令A是一个m×n的矩阵，其列秩为r. 令A的列的一组基为c1,c2,...cr，并记矩阵C=(c1,c2,...cr). 显然A的每个列向量是c1,c2....cr这r个列向量的线性组合. 设A的第i列ai=bi1c1+bi2c2+....+bircr ,令B=(bij) 这是一个r×n矩阵 有A=CB 再观察A的行向量，有A=CB知A 的每个行向量都是B的行向量的线性组合，因此A的行秩 ≤R 的行秩. 但R仅有r行, 所以A的行秩 ≤r =A 的列秩. 这就证明了A的行秩 ≤A 的列秩类似可知A的列秩=A的转置的行秩 ≤A的转置 的列秩=A的行秩所以A的行秩=A 的列秩