Question

数学几何题，求解

如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D为AB的中点，E为BC上一点，且DE⊥AB，垂足为D.
（1）求证：DE=EC
（2）如图2，点F在ED的延长线上，连接BF、AF，作AF的垂直平分线交EC于点G，连接FG，请探究BF与FG之间的数量关系，并证明你的结论.



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Answer 1

(1)证明:∵∠C=90°,∠B=30°,∴AB=2AC
∵D是AB中点,∴AD=AB/2
∴AD=AC
连接AE,∵AE=AE,∠ADE=∠C=90°,∴△ADE≌△ACE(HL)
∴DE=CE
(2)BF=FG,理由如下
在BC上找一点G'使CG'=DF.连接AG'
∵∠C=∠ADF=90°,AD=AC,DF=CG',∴△ADF≌△ACG'(SAS)
∴AF=AG',∠DAF=∠CAG'
∵∠CAG'+∠G'AB=∠CAB=60°,∴∠DAF+∠G'AB=∠FAG'=60°
连接FG',则△AFG'是等边三角形
∴AG'=FG',G'在AF的垂直平分线上
∵G在AF的垂直平分线上,且G,G'都在BC上,∴G和G'重合
∴FG=AF
∵EF垂直平分AB,∴AF=BF,∴BF=FG

Answer 2

‍第一题连接AE，D为AB中点，所以AD=1/2AB，以为角B=30度，角C=90度，所以AC=1/2AB‍,所以AC=AD，因为角C=角ADE=90度，所以两个三角形全等，所以DE=FC

Answer 3

很简单的，你连接AE，证明ade与aec全等就可以了