Question

设f(x)为定义在(-e,e)内的奇函数,若f(x)在(0,e)内单调增加,证明：f(x)在（-e,0）内单调增加.

设f(x)为定义在(-e,e)内的奇函数,若f(x)在(0,e)内单调增加,证明：f(x)在（-e,0）内单调增加.证明：在（-e,0）内任取x1,x2
-e＜x1＜x2＜0
∴e＞-x1＞-x2＞0
∵f(x)为定义在(-e,e)内的奇函数
∴f(x1)=-f(-x1),f(x2)=-f(-x2)
∵若f(x)在(0,e)内单调递增
e＞-x1＞-x2＞0
∴f(-x1)＞f(-x2）
∴f(x1)=-f(-x1)＜-f(-x2)=f(x2)
∵-e＜x1＜x2＜0
f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在（-e,0）内单调递增这里面f(x1)=-f(-x1)＜-f(-x2)=f(x2)为什么是这样的，前面不是f(x1)=-f(-x1),f(x2)=-f(-x2)，不一致啊。。。。。。。。。。。

Answer 1

f(-x1)>f(-x2）

所以 -f(-x1)<-f(-x2）

而f(x1)=-f(-x1)，f(x2)=-f(-x2)
所以 f(x1)<f(x2)

追问

为什么f(x1)=-f(-x1)，f(x2)=-f(-x2)，这不是奇函数嘛，正号出现正号才对啊，为什么出现了负号。。
(x)为定义在(-e,e)内的奇函数
∴f(x1)=-f(-x1),f(x2)=-f(-x2)这一段我不理解，还有f(x1)=-f(-x1)＜-f(-x2)=f(x2)这一段也不理解

追答

奇函数：f(x)+f(-x)=0，
偶函数：f(x)=f(-x);
因此对于本题有：

f(x)=-f(x).

Answer 2

设f(x)为定义在(―l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明...设f(x)为定义在(-e,e)内的奇函数,若f(x)在(0,e)内单调增加,证明:...

Answer 3

前面根据已知证得f(-x1)>f(-x2),e>-x1>-x2>0所以-f(-x1)<-f(-x2)，因f(x)是奇函数，所以
-f(x1)=f(-x1),-f（x2）=f(-x2),即f(x1)<f(x2).-e<x1<x2<0.

追问

(x)为定义在(-e,e)内的奇函数
∴f(x1)=-f(-x1),f(x2)=-f(-x2)
f(x1)=-f(-x1)＜-f(-x2)=f(x2)这一段我不理解，奇函数为什么要加负号啊f(x1)=-f(-x1),偶函数才是f(X)=f(-x）吧

追答

奇函数的定义就是-f(x)=f(-x),表示x取值互为相反数时，f(x)的值也互为相反数。