Question

在三角形ABC中，B=60度，AC=根号3，则AB+2BC的最大值是多少

Answer 1

由正弦定理知：AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB=2。
∴AB=2sinC，BC=2sinA。
∴AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=2sinC+4(√3/2cosC+½sinC)=4sinC+2√3cosC
=√28sin(C+θ)=2√7sin(C+θ)
∴AB+2BC的最大值为2√7。

先了解两个公理 1、正弦定理 AB/sinC=BC/sinA=AC/ sinB
2、若a/b=c/d 则 a/b=c/d=(a+c)/(b+d)=(a+2c)/(b+2d) (任意比例变化多可以)
接下来解题 由 AB/sinC=BC/sinA=AC/ sinB可得
( AB+2BC)/(sinC+2sinA)=AC/sinB=2 (代入sinB和AC的值)
∴AB+2BC=2（sinC+2sinA）
又A+C=180°-B=120° ∴sinC=sin(120°-A)=√3/2*cosA-1/2*sinA
∴AB+2BC=2(2sinA+√3/2*cosA-1/2*sinA)=3sinA+√3cosA=2√3( √3 /2sinA+1/2cosA)=2√3sin(A+30°)
当sin(A+30°)=1 即A=60°时 AB+2BC取最大 此时 AB+2BC=2√3