Question

圆圈圈中的两道高数题，求大神解答

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Answer 1

4.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1.
解：设曲线方程为y=f(x)；(xo，yo)为其上的任意一点；过该点的切线的斜率k=f'(xo);
过该点的切线方程为y=f'(xo)(x-xo)+yo;
令x=0得切线在y轴上的截距b=-xof'(xo)+yo;
令y=0得切线在x轴上的截距a=xo-(yo/f'(xo);
所围面积S=(1/2)∣ab∣=(1/2)∣-xof'(xo)+yo∣∣xo-(yo/f'(xo)∣
=(1/2)∣-xo²f'(xo)+2xoyo-y²o/f'(xo)∣=1
即有∣-xo²f'(xo)+2xoyo-y²o/f'(xo)∣=2
设(xo，yo)在第一象限，则绝对值符号可以去掉；去掉脚表o，即得所求的微分方程：
x²y'+y²/y'-2xy+2=0
5.解微分方程 [e^(x+y)-e^x]dx+[e^(x+y)+e^y]dy=0
解：P=e^(x+y)-e^x；Q=e^(x+y)+e^y；
∵∂P/∂y=e^(x+y)=∂Q/∂x，∴该方程是全微分方程。其通解：
u(x，y)=∫﹤0,x﹥ [e^(x+y)-e^x]dx+2∫﹤0,y﹥(e^y)dy
=[e^(x+y)-e^x]﹤0,x﹥+[2e^y]﹤0,y﹥=[e^(x+y)-e^x-e^y+1]+2(e^y-1)
=e^(x+y)-e^x+e^y-1=C
即通解为 e^(x+y)-e^x+e^y-1=C