Question

如图考研，高等数学，理工学科 关于矩阵特征值特征向量怎么证明E-A可逆

Answer 1

设λ是A的特征值，α是A的特征向量
A²=2A

A²α=2Aα
λ²=2λ
得λ=0或2
由A²=2A可以得到 (E-A)(E-A)=E
E-A可逆 逆矩阵是其自身

追问

书上写的E-A特征值是1和-1然后所以E-A可逆，这是什么意思啊?

追答

A的特征值不是0和2
那么E-A的特征值是1或-1
E-A的行列式不可能为0 （行列式的值为所有特征值之积）
E-A不可逆

追问

感觉，要是有第三特征值等于零的话，行列式不就等于0了吗？这个怎么保证就是2个特征值的呢？

追答

不是 A的特征值只会由 0或者2构成
如果有的话 不满足A²α=2Aα

Answer 2

A^2 = 2A, 即 A(2E-A) = O, A 的特征值是 0 或 2.

A^2 = 2A， A^2 - 2A + E = E, (E-A)(E-A) = E
则 E - A 可逆， (E - A)^(-1) = E - A