Question

函数的周期性和对称性的题目

1.函数f(x)对一切实数x都满足f(0.5+x)=f(0.5-x).并且方程f(x)=0有三个实根,这三个实根的和为
2.方程x^5+x+1=0和x+x^0.2+1=0的实根分别为A,B,A+B=
3.定义在R上的函数y=f(x),y=f(-x),y=-(-x)的图象重合,则函数y=f(x)的值域为
4.函数y=f(x)是偶函数,其周期为2,当x属于[2,3]时,f(x)=x-1,y=f(x)的图象上有两点A,B,他们的纵坐标相等(A点在B点的左边),横坐标都在区间[1,3]上,定点C的坐标为(0,a),其中a>2,求三角形ABC面积的最大值
(1,2,3可以不要过程,4一定要写全,谢谢)

Answer 1

1.f(0.5+x)=f(0.5-x)
得出f(x)=f(1-x)
于是这三个实根的和为1+0.5=1.5
2.x^5+x+1是单调的，且A，B^0.2均是他的根，有A=B^0.2
于是得到A+B=-1
3.y=f(x),y=f(-x)图像重合，说明f(x)关于y轴左右对称；
y=f(-x),y=-f(-x)图像重合，说明f(x)关于x轴上下对称，从而说明f(x)恒等于0，于是值域为{0}
4.x属于[0,1],f(x)=x+1;x属于[-1,0],f(x)=-x+1
从而x属于[1,2],f(x)=-x+3
设A、B的纵坐标为t，那么S=1/2(2t-2)(a-t)<=(a-1)^2/4
当且仅当t=(a+1)/2时等号成立

于是当2<a<=3时，S<=(a-1)^2/4 当且仅当t=(a+1)/2时等号成立
当a>3时，S<=a-2 当且仅当t=2时等号成立

Answer 2

你问对人了,图像不是一条直线，是分段函数，你认真画图是存在的，
我个人有结论：
奇函数+对称可得周期函数周期为对称的4倍(1)
偶函数+对称可得周期函数周期为对称的2倍(2)
逆向也成立这里不做扩大讲解，我给你证明上述结论
证命题(1)
函数关于x=a对称则有
f(2a+x)=f(0-x)
奇函数性质代入
得
f(x+2a)=f(-x)=-f(x)
用x+2a替代x
得
f(x+4a)=-f(x+2a)=-(-f(x))=f(x)
即f(x+4a)=f(x)为周期函数且周期4a
证命题(2)
函数关于x=a对称则有
f(2a+x)=f(0-x)
偶函数性质代入
得
f(x+2a)=f(-x)=f(x)
即f(x+2a)=f(x)为周期函数且周期2a
现在解决你的题目：f(-25)=f(-1)
f(80)=f(0)
f(11)=f(3)=f(1)(因为函数关于x=2对称)
因为是奇函数，定义域包含0所以f(0)=0(这个是常识，如果假设不等于0就出现了当x=0时y取两个值违背了函数不能一对二的原则)
奇函数不改变单调性[-2,0]也是增函数
所以f(-1)

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Answer 3

1）关于直线对称的意思(X1+X2)/2=a，Y1=Y2。开始不懂，你可以设定点X0,y0在y=f(x)的图上，然后解出对称点设它的对称点是(x,y)，所以有(X0+x)/2=a,y0=y关于x=a的对称点.有结论f(x)=f(2a-x).
2)原点对称跟上面一样，先设定点x0,y0解关于p(a,b)点对称点坐标。(xo+x)/2=a,(y0+y)/2=b
3）根据f(x)=f(2a-x)的性质，关于x=1和x=4对称有f(2-x)=f(8-x)就是f(-x+2)=f((-x+2)+6)再简单点就
f(x)=f(x+6)所以周期是6

Answer 4

（1）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；
（2）奇偶性是特殊的对称性，即奇偶性能推出对称性，而对称性推不出奇偶性。周期性与奇偶性、周期性与对称性互相不能推出。
（3）周期函数在一个周期内可能具有单调性，也可能不具有单调性，单调函数一般不具有周期性。即周期性与单调性不能互相推出。
(4)单调性 在定义域内如果X1>X2 且F（X1）>f(x2)那么单调增 反之 减
奇偶性 F(-X)=F(X)偶函数 F(-X)=-F(X)奇函数
周期函数 F(X)=F(X+T)..这就是周期为T的周期函数

Answer 5

1）即是说两函数关于x=a对称则设A（x,g(x))，B（b,f(b))分别是两函数的任意两个点