Question

矩阵的矩阵的分解

Answer 1

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解，谱分解，奇异值分解，满秩分解等。 假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得
其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值 。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。 一个正方的复值矩阵称为Hermitian矩阵，若A=AH即其元素,换言之Hermitian矩阵是一种复共轭对称矩阵 .
对一个实值矩阵，Hermitian矩阵与对称矩阵等价。 Vandermonde矩阵（范德蒙矩阵）的命名来自Alexandre-Théophile Vandermonde的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵 。
例如：
或以第i行第j列的关系写作：
Hadamard矩阵（阿达马矩阵）是一个方阵，每个元素都是 +1 或 −1，每行都是互相正交的。
n阶的阿达马矩阵H满足：。这里In是n×n的单位矩阵 。