Question

一道数学几何题目～

Answer 1

首先，根据面和面之间共边关系，判断各点在立方体上点的位置，如下图:

追答

其次，在立方体上，连接MN,EF,MC,NC,NF,MF,ME,AC
建立如图所示的坐标系。

（I）求MN与EF的夹角:
EFCN是矩形，NC∥=EF
MN与NC的夹角=MN与EF的夹角。
在三角形MNC中，MN=MC
设正方形边长为2,MN=MC=√（1²十2²）=√5
NC=√（2²十2²）=2√2
cos∠MNC=（NC/2）/MN=√2/√5=√10/5

（II）连接EC,与NF交于P,连接MP
ENFC为矩形，对角线NF,EC互相平分，P为NF,EC的中点。
在三角形MEC中，ME=MC,三角形MEC等腰，MP⊥EC;
在三角形MNF中，同理，MP⊥NF,
所以，MP⊥平面NEF,所以，平面MNF⊥平面NEF

（III）M（0,1,0）,E（2,0,0）,F（0,0,2）
平面MEF方程:x/2十y十z/2=1
x十2y十z=2
法向量（1,2,1）
A（2,0,2）,C（0,2,2）
AC向量（-2,2,0）
AC向量与平面法向量的夹角的余角，就是AC与平面的夹角。
设AC与平面MEF法线的夹角为α，根据向量点积公式，cosα=（-2×1十2×2十0×1）/[（√（1²十2²十1²））（√（（-2）²十2²十0²））]
=2/（√6√8）
=2/（4√3）
=√3/6
sinα=√（1-（√3/6）²）
=√（1-1/12）
=√（11/12）

追问

谢了