Question

题1：已知空间三点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7)。已求出△ABC的面积为根号14，现求△ABC在BC边上的高.

题2：已知空间三点A(5，1，-1),B(0，-4，3),C(1，-3，7),试求：(1)△ABC的面积，(2)△ABC在BC边上的高。

麻烦给出过程，谢谢！

Answer 1

约定:用AB’表示“向量AB”, 用AC’表示“向量AC”,...
题1：(1)AB'=(2,2,2),AC'=(1,2,4)
AB'×AC'=(4,-6,2), |AB'×AC'|=2√14
△ABC的面积S=(1/2)|AB'×AC'|=√14 (用到向量叉积的几何意义)
(2)BC'=(-1,0,2), |BC'|=√5
设BC边上的高是h
得S=(1/2)· |BC'|·h
√14=(1/2)· √5·h
h=(2√70)/5
所以 △ABC在BC边上的高是(2√70)/5.

题2：(1)AB'=(-5,-5,4),AC'=(-4,-4,8)
AB'×AC'=(-24,24,0), |AB'×AC'|=24√2
△ABC的面积S=(1/2)|AB'×AC'|=12√2
(2)BC'=(1,1,4), |BC'|=3√2
设BC边上的高是h
得S=(1/2)· |BC'|·h
12√2=(1/2)· 3√2·h
h=8
所以 △ABC在BC边上的高是8.

希望能帮到你！
(如果你是中学生,(1)中可选求三边长，用“海伦公式”算面积)