无穷级数的幂级数
一个任意项级数，如果由它的各项的绝对值所得到的级数收敛，则原来的级数也收敛，如果发散，则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛，则称这种级数为条件收敛的。实际上，条件收敛的级数，可以通过变换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数，也能发散至无穷大。 级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。
这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的级数，称为幂级数。
也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。
设对于幂级数的系数，有，其中为有限数值或者是无穷大。进一步使，利用根值审敛法，就有如下结果：
⑴ 如果，则在时，幂级数绝对收敛，而时，幂级数发散。因此，此时幂级数的收敛半径为。
⑵ 如果，则对于任意的x，幂级数都是绝对收敛的。因为此时，小于1。这时可以认为幂级数的收敛半径为无穷大。
⑶ 如果为无穷大，则幂级数只在x=0处收敛，而取任意非零的数值时，级数都是发散的，因此可以认为幂级数的收敛半径为0。
对於形如的幂级数，类似地，也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论。求出幂级数的收敛半径以后，即可得到相应的收敛区间和收敛区域。 对于一个幂级数，如果它的收敛半径大于0，那么在它的收敛区域内，就得到了一个确定的以这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数，自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究。
首先是对和函数的求导：
如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在(-r，r)上必定可积，并且导函数为。和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义，这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。
和函数还具有连续性：如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在其定义域上连续。对于连续性，定理强调的是在它的定义域上，也就是包括有定义的端点。连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限。
