Question

公理集合论的正则公理

Answer 1

正则公理与其他公理不同，它不是断言某些集合的存在，而是限制一些集合的存在。提出它是为了研究ZF的模型。在ZF中可定义的数学对象都不以自身为元素；也未发现有集合x,y，具有x∈y并且y∈x的性质或者集合序列x1,x2，…，满足：。1917年 D.米里马诺夫首先提出良基集的概念。1922年弗伦克尔在策梅洛原来的公理系统补充了一条公理名曰限制公理，顾名思义，它是给出某种限制，以排除那些非良基集。1925年J.冯·诺伊曼，称它为正则公理。1930年策梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理。从而完成了ZF。
冯·诺伊曼给出了一个分层其中V0=═（α为任一序数，F(Vα）表Vα的幂集。这样，正则公理肯定了每一集合必在某一Vα中。若再引进γ，称为x的秩。从而，即可依秩来作超限归纳。
在AC成立的条件下，每一群都同构于一个在π中的群：每一拓扑空间都同构于一个在Π中的拓扑空间，等等。而在数学讨论中常常是把同构的对象视作同一的；故正则公理并不给讨论带来局限。