Question

为什么对曲线积分用了斯托克斯公式之后不能再用高斯公式？斯托克斯公式和高斯公式可以同时用吗？ 如

为什么对曲线积分用了斯托克斯公式之后不能再用高斯公式？斯托克斯公式和高斯公式可以同时用吗？ 如图（1）

Answer 1

理论上，斯托克斯公式和高斯公式可以使用，用完斯托克斯公式是把曲线积分转换为曲线边界的有向曲面积分，这时候再用高斯公式需要添加一个面使其封闭。

但是我猜题主的意思是在做题过程中为什么不能连在一起用，这个问题其实很简单， 我画了一个示意图，L（逆时针）为题目欲求的曲线积分，我们用斯托克斯公式将其转化为曲面S（方向向上，就是一个盖子），这时候要使用高斯公式就需要添加一个面使其封闭，我们不妨添加阴影面D（方向向下），这时候S与D围成的封闭曲面用高斯公式求出来的值一定为零（S和D方向相反，相互抵消了，D也可以看做我们对L另外用的一次斯托克斯公式，只不过差个负号），所以对于做题来说，再用高斯公式没有意义了。

Answer 2

可以的，不过曲线积分只是其中一个面
要使用高斯公式，你还需要补上其余几个面才可以使用

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Answer 3

一楼已经说的很完整了，我来从公式推导方面补充一下。
(偏导符号打不出)斯托克斯公式为∫∫(偏Q/x-p/y)dxdy+(P/Z-R/x)dZdx+(R/y-Q/Z)dydZ
如果再用一次高斯公式，变为∫∫∫Q/XZ-P/yz+P/Zy-R/xy+R/yX-Q/Zx
又因为高斯公式能使用的条件是偏导连续，所以得出可以交换求导顺序，故上式为0恒成立