Question

已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于1/4

Answer 1

用反证法：
假设同时大于1/4
则 (1-a)b*(1-b)c*(1-c)a>=1/64
即 (1-a)a*(1-b)b*(1-c)c>=1/64
由基本不等式知
(1-a)a<=1/4,(1-b)b<=1/4,(1-c)c<=1/4
三式相乘，得(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c<=1/64 与上面矛盾
假设不成立

Answer 2

假设：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4
∵(1-a)b＞1/4 b＜1 ∴a＞3/4
同理b＞3/4
c＞3/4
但是当a＞3/4,c＞3/4时
(1-c)a＜3/16＜1/4
与假设相矛盾 故假设不成立
即 (1-a)b,(1-b)c,(1-c)不能同时大于1/4

Answer 3

用反证法证明。假设三个式子同时大于1/4
首先利用不等式公示 (x+y)/2≥(xy)^0.5即算术平均值大于或等于几何平均值。可以得到
（1-a＋b）/2≥（（1－a）b）^0.5>1/2,
由此可推出 b>a,有其他两个式子得出 c>b 和 a>c 由此矛盾得解
(说明 条件所给的a b c 取值可保证1-a等都大于0 解题时要说明)

Answer 4

xy<=(x+y)^2/4
so we have:
1/4<(1-a)b<=(1-a+b)^/4
1-a+b>1(obviously 1-a+b>0)
so a<b
so b<c,c<a
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