Question

sec x-1和x^2/2是等价无穷小是如何证明出来的呢？（不用无穷小的替换公式）

Answer 1

x趋近0时
sec x－1 和x的平方不是等价无穷小
它们是同阶无穷小
sec x－1 和(x的平方)/2是等价无穷小

证明方法：两个式子相除，求x趋近0时的极限
如果极限＝1
则，两个式子是等价无穷小
如果极限＝不等于1的常数
则，两个式子是同阶，非等价无穷小

追问

你好，我想问的就是这两个式子相除之后如何证明极限为1

Answer 2

secx=1/cosx
secx-1=1-cosx/cosx cosx=1-2sin^2(x/2)
要证明secx–1~x^2/2只要证
lim secx-1/x^2/2=1即可
x->0
=lim1-cosx/cosx*lim1/x^2/2
x–>0 x->0
=limsin^2(x/2)/(x^2/2)*lim1/cosx
x->0 x->0
=limsin^2(x/2)/(x/2)^2*lim1/cosx
x->0 x->0
=1*1=1